Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.
В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:
11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
II – здесь обе единицы обозначают единицу.
345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.
XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.
Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).
В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.
Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.
Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.
Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка - третий).
Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)
Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.
Перевод чисел:
В десятичную систему счисления
из двоичной
101,012 =
= 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 0 * 2-1 + 1 * 2-2 =
= 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4 =
= 5,2510
из восьмеричной
253,318 =
= 2 * 82 + 5 * 81 + 3 * 80 + 3 * 8-1 + 1 * 8-2 =
= 128 + 40 + 3 + 3/8 + 1/64 =
= 171 + 0,375 + 0,015625 =
= 171,39062510
из шестнадцатеричной
42D16 =
= 4 * 162 + 2 * 161 + 13 * 160 =
= 1024 + 32 + 13 =
= 106910
Из десятичной системы счисления
При переводе целых чисел из десятичной системы счисления последовательно выполняют деление этого числа и получаемых целых частных на основание выбранной системы счисления. Деление выполняют до тех пор, пока частное не будет равно нулю.
Число получают путем «сбора» остатков, начиная с конца.
в двоичную
34 / 2 = 17 (0) 17 / 2 = 8 (1) 8 / 2 = 4 (0) 4 / 2 = 2 (0) 2 / 2 = 1 (0) 1 / 2 = 0 (1)
3410 = 1000102
в восьмеричную
472 / 8 = 59 (0) 59 / 8 = 7 (3) 7 / 8 = 0 (7)
47210 = 7308
в шестнадцатеричную
924 / 16 = 57 (12) 57 / 16 = 3 (9) 3 / 16 = 0 (3)
92410 = 39C16
Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления
Дробь в десятичной системе счисления последовательно умножают на основание выбранной системы счисления пока не получиться нулевая дробная часть или достигнута требуемая точность. При каждом последующем умножении целая часть отбрасывается. Целые части результатов и составляют новую дробь. Записываются по порядку.
в двоичную дробь
0,225 * 2 = 0,45 0,45 * 2 = 0,9 0,9 * 2 = 1,8 0,8 * 2 = 1,6 0,6 * 2 = 1,2 0,2 * 2 = 0,4 0,4 * 2 = 0,8 0,8 * 2 = 1,6
Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований
Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение.
1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %
2. Декодируем заданную последовательность:
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01
3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1
0111 1010 0001 = 7A1
Ответ. 7A116.
Задание 2. В саду 100x фруктовых деревьев, из которых 33x – яблони, 22x – груши, 16x – сливы, 17x - вишни. Чему равно основание системы счисления (x).
Решение.
1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x1 + b * x0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x2 + b * x1 + c * x0 = ax2 + bx + c
a * x1 + b * x0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x2 + b * x1 + c * x0 = ax2 + bx + c
2. Условие задачи таково:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x2 + 0x + 0
7x + 18 = x2
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x2 + 0x + 0
7x + 18 = x2
3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 72 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 72 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.
Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.
Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.
Решение.
Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.
110 = 1 * x2 + 1 * x1 + 0 * x0 = x2 + x
Нам надо получить 12. Пробуем 2: 22 + 2 = 6. Пробуем 3: 32 + 3 = 12.
Значит основание системы счисления равно 3.
Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.
Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления
Задание 1. Какому числу в шестнадцатеричной системе счисления соответствует число 11000101?
Решение.
При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на четыре, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке однозначно соответствует одна цифра шестнадцатеричной системы счисления.
11000101 = 1100 0101 = С516
Нет необходимости иметь таблицу соответствия перед глазами. Двоичный счет 15 первых чисел можно осуществить в уме или последовательно расписать. При этом не следует забывать, что 10 в десятичной системе соответствует A в шестнадцатеричной, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F.
Ответ. 11000101 = С516
Задание 2. Вычислите сумму двоичных чисел x и y, при x = 10100 и y = 10101. Результаты представьте в виде восьмеричного числа.
Решение.
Сложим два числа. Правила двоичной и десятичной арифметики одинаковы:
10100 10101 ------ 101001
При переводе двоичного числа в восьмеричное, первое разбивается на группы по три разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на три, то первая тройка дописывается нулями впереди:
101 001 = 518
Ответ. Сумма двоичных чисел 10100 и 10101, представленная в восьмеричной системе счисления равна 51.
Комментариев нет:
Отправить комментарий